数式表現のためMathjax-Latexを使ってみる

投稿者: | 2017年5月13日

数学の本を読んでいて、ふと数式をブログに書くのはどうすればいいのだろうか、ということを疑問に思った。
Web検索すると、MathJax-LaTeXというプラグインを発見したしたので早速実験。

こんなオイラーの公式
\[
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
\]
とか、コーシーの積分定理を示す
\[
\oint_C f(z) dz = 0
\]
のような数式も書けてしまう優れもの。

MathJaxを練習するために、以下のような数列の問題と解答を書いてみることにする。(出典は、「解析入門」(小平邦彦 著))

当たり前だが、慣れるまでは書くのに時間がかかるものだね。
ちなみに、Easy Copy MathJaxというサイトが非常に参考になった。


数列 \({a_n}\)が実数\(\alpha\)に収束していとき、\(b_n = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\)とおけば、数列\({b_n}\)も\(\alpha\)に収束することを証明せよ。

解答
任意の正の実数\(\varepsilon\)が与えられたとき、\(M={n_0}(\frac{\varepsilon}{2}) \) を十分大きくとると、\(n>M\)ならば、\(|{a_n}-\alpha| \lt \frac{\epsilon}{2}\)である。また \(n \gt M\)ならば
\(
|{b_n}-\alpha| = \frac{1}{n}|({a_1}-\alpha)+ \cdots + ({a_n}-\alpha)| \\
\qquad \le \frac{1}{n}\{|{a_1}-\alpha| + \cdots + |{a_M}-\alpha| + |{a_{M+1}}-\alpha|+ \cdots + |{a_n}-\alpha|\} \\
\qquad \lt \frac{1}{n}\{|{a_1}-\alpha| + \cdots + |{a_M}-\alpha| + (n-M)\frac{\varepsilon}{2}\}
\)
となる。いま \(|{a_1}-\alpha|, \cdots, |{a_M}-\alpha|\)の最大値を\(K\)とおくと、上の最後の式
\(
\qquad \le \frac{1}{n}(MK+\frac{n-M}{2}\varepsilon) \lt \frac{1}{n}(MK+\frac{n}{2}\varepsilon)
\)
となる。ここで、\(n \gt M\)ならば、\(\frac{MK}{n} \lt \frac{\varepsilon}{2}\)となるような十分大きな自然数\(M\)に対して\(n \gt M \)のとき
\(
\qquad \frac{1}{n}(MK + \frac{n}{2}\varepsilon) \gt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\)
となるから、\({b_n} \to \alpha \) である。

 

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